2차 베지어 곡선
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2차 베지어 곡선은 단지 두개의 1차 베지어 곡선을 혼합한 것입니다. 앞서 배웠던 1차 베지어 곡선에는 t와 1 - t만 있었으며 t제곱은 없었습니다. 여기서는 "2차"라는 의미의 제곱을 볼 수 있을 겁니다.
A, B, C 라는 세개의 조절점이 있습니다.
AB와 BC라는 두개의 1차 베지어 곡선도 있죠.
두개의 1차 베지어 곡선 위에서 계산되는 점들은 각각 E, F로 쓰겠습니다.
손잡이를 돌려 AB 를 따라 E를 보간 합니다. 마찬가지로 손잡이를 돌려 BC 를 따라 F를 보간 합니다. "t"값 하나로 E 와 F를 동시에 계산한다고 생각하면 됩니다.
이제 E와 F 사이에 선을 그어보면서 다시 손잡이를 돌려 봅시다. t=0에서 1까지 입니다.
이제 E에서 F로 가는 점 P를 보간해 볼것인데요, 아까 E와 F를 보간할 때 사용했던 "t"값을 그대로 사용할 것입니다. P가 어디로 이동해 가는지 확인해 보세요!
수학자들은 A, B, C 대신에 P0, P1, P2를 쓰지만 저는 깔끔하고 단순하게 쓰기 위해 A, B, C로 쓰겠습니다.
앞서 그려봤던 2차 베지어 곡선을 떠올려 보면 점 P가 A에서 시작하고 C에서 끝난다는것을 알 수 있습니다. 하지만 B에는 절대 닿지 않는다는것도 알 수 있죠. B는 곡선에서 가이드 역할을 합니다. 곡선의 형태를 변경하려면 B를 이리저리 이동시키면 됩니다.
중학교 시절에 이런거 많이 그렸었죠?
트루타입 폰트의 아름다운 곡선을 그리는데에도 베지어 곡선이 사용됩니다.
2차 베지어 곡선은 단지 두개의 1차 베지어 곡선을 혼합한 것 뿐입니다. 그렇기 때문에 수학적인 내용은 매우 간단하죠. (단지, 두개의 1차 베지어 방정식을 혼합한 것이니까요.)
지금까지 2차 베지어 곡선이 그려지는 원리에 대해서 알아 봤습니다. 이제 수식과 함께 설명 드리겠습니다. 여기서 "2차"의 의미를 뜻하는 제곱이 어디에 나타나는지 알 수 있을 겁니다.
각 점 E, F, P에 대한 수식을 다시 한번 나타내 보겠습니다.
곱셈 기호를 생략해서 써 보면 이렇게 됩니다.
여기에서 P(t)는 E 에서 F까지 보간되는 값입니다. 이제 E와 F자리에 해당 수식을 직접 대입해 보겠습니다.
아래처럼 풀어서 쓸 수도 있죠.
(st)B가 두개이니 하나로 줄이면 아래와 같은 수식이 됩니다.
여기에 t제곱이 들어있군요. 그럼 이제 이 수식을 갖고 t를 바꿔가며 직접 계산해 보겠습니다.
만약에 t = 0이라면 결과값은 A가 되어야 합니다. 조절점이 0이라는것은 시작점을 의미하기 때문이죠.
방금 구한 방정식에 t = 0값을 대입해 봅시다. t = 0이니까 s = 1이 되죠(s = 1 - t 이므로).
계산해 보면 이렇게 됩니다.
최종 결과값은 A가 나옵니다.
P(t) = A
아주 정확하군요. 이제는 t = 1인 경우를 계산해 보겠습니다. 결과값은 C가 되어야 합니다. 조절점이 1이라는것은 끝점을 의미하기 때문이죠.
앞에서 계산한 것과 마찬가지로 방정식에 t = 1값을 대입해 봅시다. t = 1이니까 s = 0이 되죠(s = 1 - t 이므로).
계산해 보면 이렇게 됩니다.
최종 결과값은 C가 나옵니다.
P(t) = C
대부분의 곡선은 균일 하지 않습니다. 즉, 밀도 또는 속력이 변한다는 뜻이죠. (일정한게 좋을것 같지만 오히려 이 특징이 장점이 되는 경우도 있습니다!)
