3D 기초 수학 - 5. 벡터의 외적

2016-06-23

외적(cross product)

길고 긴 내적의 과정을 지나 또 다른 벡터의 곱셈인 외적에 대해서 알아볼 차례입니다. 벡터의 내적을 배웠을 때 생각보다 어렵지 않았었죠? 외적도 알고 보면 별거 아닙니다. 일단 부딪쳐 봐야 하니 벡터의 외적에 대한 사전적 정의를 살펴봅시다.

벡터의 외적은 두 벡터 a,b 사이의 각을 θ라 하면 a·b sin θ라는 크기, 즉 a,b를 두 변으로 하는 평행사변형의 넓이와 같은 크기를 가지고 a,b를 포함하는 평면에 수직이고...

(출처 : http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=1186169&cid=40942&categoryId=32225) 백과사전에서 검색한 외적의 설명입니다. 사실 저 의미를 이해하려면 다음 챕터에 나오는 삼각함수에 대해 알고 있어야 합니다. 따라서 이번 외적 파트를 다 읽고도 뭔가 찝찝함이 남아 있는 분들이라면 다음 챕터에 나오는 삼각함수에 대한 내용을 이해한 뒤에 다시 돌아와 한번 더 학습하시길 권해드립니다. 일단 누구나 알 수 있도록 쉬운 부분부터 설명해 나가도록 하겠습니다. 내적의 결과값은 벡터가 아닌 스칼라값이 나온다는 사실은 다들 아시겠죠? 외적의 결과값은 또다른 벡터 하나가 생기는데 이 벡터는 두 벡터에 모두 수직인 벡터가 됩니다.(한가지 주의해야 할 점은 벡터의 외적은 3차원 벡터에서만 적용 된다는 것입니다.) 내적을 설명할 때 법선벡터 라는 말을 잠깐 언급했는데 이 법선벡터를 구할 때 벡터의 외적을 사용하게 됩니다. 법선벡터란 어떤 평면에 수직인 벡터를 의미하므로 위에서 말씀드린 외적의 정의와 완벽히 일치하게 되는 것이죠. 어떤 두 벡터의 외적을 구하는 수식은 다음과 같습니다.

a x b = [(ay·bz – az·by), (az·bx – ax·bz), (ax·by – ay·bx)]

우리는 프로그래밍 언어가 더 친숙하므로 코드를 통해 외적을 계산해 보겠습니다.

Vector3 vector_cross(Vector3 a, Vector3 b)  
{  
    return new Vector3(  
        a.y * b.z - a.z * b.y,  
        a.z * b.x - a.x * b.z,  
        a.x * b.y - a.y * b.x);  
}  

위 수식을 자세히 보면 새로운 벡터의 x성분은 두 벡터의 y, z값을 각각 교차해서 곱한 뒤 서로를 뺀 값이라는 것을 알 수 있습니다. 새로운 벡터의 y, z성분도 동일한 규칙으로 계산을 한 것이죠. 수식이 중요한건 아니니 그냥 한번 읽고 넘어가시면 될 듯 합니다. 중요한건 저런 계산을 통해 나온 새로운 벡터는 두 벡터의 수직이 되는 벡터라는 것입니다. 그 벡터는 두 벡터를 통해 만들어진 평면에 수직인 벡터라고 할 수 있으며 그것을 평면의 법선벡터 또는 노말벡터 라고 부르죠. 보통 3D 제작툴에서 모델을 익스포트할 때 법선벡터도 같이 뽑아져 나오기 때문에 프로그램에서 직접 계산해줄 일은 많지 않을겁니다. 하지만 어떤 원리를 통해서 법선벡터가 생기는지 알고 있다면 활용범위가 더 넓어질 수 있겠죠.

평행사변형의 넓이

벡터의 외적을 게임 프로그래밍에서가 아닌 수학적으로 설명한 책이나 자료를 보면 아래와 같은 공식을 발견할 수 있습니다.

a x b = |a|∙|b|∙sinθ∙n

저 공식을 풀어서 설명해 드리자면, 두 벡터 a와 b의 외적은 두 벡터가 이루는 각도의 사인(sin)값에 두 벡터의 길이를 곱해서 두 벡터의 수직인 단위벡터 n을 곱한 값이라는 뜻입니다.(|a| 이 기호는 벡터 a의 길이를 나타내는 표시입니다.) 쉽게 이해할 수 있도록 그림을 통해서 보겠습니다.

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두 벡터 a와 b가 있습니다.

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두 벡터 a와 b가 이루는 각도를 θ(세타)라고 했을 때그림에서 보이는 빨간색 선(b에 수직인 선)의 길이는 sinθ에 a의 길이를 곱한 값이 됩니다.

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a와 b에 모두 수직이면서 길이가 1인 벡터 n이 있다고 할 때(벡터 n은 화면 위쪽이 아닌 모니터의 앞쪽으로 나온다고 생각하면 됩니다. 그래야 a, b에 모두 수직인 벡터가 되니까요) sinθ에 a의 길이와 b의 길이를 곱한 값을 n에 곱해주면 최종적으로 벡터 n을 길게 늘려준 꼴이 됩니다. 왜냐하면 sinθ에 a의 길이, b의 길이를 곱하면 하나의 스칼라값이 나오는데여기에 벡터 n을 곱하면 벡터와 스칼라를 곱하는 것이기 때문에 결국벡터 n이 확장된 모습이 되기 때문이죠.

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결국 a와 b의 외적은 |a|∙|b|∙sinθ∙n 으로도 구할 수 있습니다. 하지만 이 방법은 두 벡터 사이의 각도와 수직인 벡터 n을 알아야 하며 삼각함수까지 들어가 있기 때문에 계산 과정이 복잡해집니다. 따라서 실무에서는 벡터의 외적을 구할 때 이 방법 보다는 첫 번째로 설명 드린 방법(벡터의 각 성분들을 곱해서 빼는 방법)을 사용하게 되죠. 이러한 계산 방법을 통해서 한 가지 재미있는 사실을 알아낼 수 있는데요, 벡터의 외적을 이용하면 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이를 구할 수 있다는 것입니다.벡터 a와 b가 만드는 평행사변형은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

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평행사변형의 넓이를 구하는 공식을 다시 떠올려 봅시다.

평행사변형의 넓이 = 밑변 x 높이

위 그림에서 밑변은 b의 길이, 높이는 a에서 b로 수직으로 내려오는 선이라고 할 수 있죠.

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높이를 구하려면 벡터 a와 b가 이루는 각도를 삼각함수 사인(sin)으로 계산한 값에 a의 길이를 곱한 것과 같습니다.(이 부분은 삼각함수 부분을 알아야 이해할 수 있습니다.) 결국 높이 = |a|∙sinθ 가 되며, 밑변 = b의 길이 이므로밑변(|b|) ˟ 높이(|a|∙sinθ)를 통해서 두 벡터 a와 b가 만드는 평행사변형의 넓이를 구할 수 있는 것입니다. 이 공식은 벡터의 외적을 구하는 공식 |a|∙|b|∙sinθ∙n에서 벡터 n만 제외한 것과 같죠.결국 외적으로 구해진 벡터의 길이는 평행사변형의 넓이와 같다는 것을 알 수 있습니다. 또한 평행사변형을 둘로 나누면 삼각형 두 개가 생기기 때문에 외적을 통해 생긴 벡터의 길이를 2로 나누면 두 벡터가 만드는 삼각형의 넓이와 같게 됩니다.

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두 벡터 a와 b가 만드는 삼각형의 넓이는 평행사변형의 넓이의 절반과 같다.

외적을 끝으로 벡터에 대한 기초를 학습해 봤습니다. 벡터를 처음 접했을 때 막연했던 느낌이 많이 사라지셨는지요? 다음 챕터는 벡터에 이어 자주 사용되는 삼각함수에 대한 부분입니다. 이 부분도 모르면 어렵고 알면 쉽습니다. 참고로 이번에 배운 벡터의 개념은 3D 게임 프로그래밍에서도 똑같이 적용 됩니다.만약 유니티 엔진을 사용할 줄 안다면 게임 오브젝트의 transform.position값을 벡터로 생각하고 지금까지 배웠던 내용들을 코딩하여 구현해 보세요. 수학적으로 계산하던 결과를 직접 컴퓨터를 통해서 확인할 수 있기 때문에 이해가 더욱 잘될 것이라 생각합니다.