> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://lee-seokhyun.gitbook.io/game-programming/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://lee-seokhyun.gitbook.io/game-programming/client/easy-mathematics/3d/3d-5..md).
# 3D 기초 수학 - 5. 벡터의 외적
### **외적(cross product)**
길고 긴 내적의 과정을 지나 또 다른 벡터의 곱셈인 외적에 대해서 알아볼 차례입니다.\
벡터의 내적을 배웠을 때 생각보다 어렵지 않았었죠?\
외적도 알고 보면 별거 아닙니다. 일단 부딪쳐 봐야 하니 벡터의 외적에 대한 사전적 정의를 살펴봅시다.
> 벡터의 외적은 두 벡터 a,b 사이의 각을 θ라 하면 a·b sin θ라는 크기, 즉 a,b를 두 변으로 하는 평행사변형의 넓이와 같은 크기를 가지고 a,b를 포함하는 평면에 수직이고...
(출처 : [http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=1186169\&cid=40942\&categoryId=32225](http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=1186169\&cid=40942\&categoryId=32225))\
\
백과사전에서 검색한 외적의 설명입니다. 사실 저 의미를 이해하려면 다음 챕터에 나오는 삼각함수에 대해 알고 있어야 합니다. 따라서 이번 외적 파트를 다 읽고도 뭔가 찝찝함이 남아 있는 분들이라면 다음 챕터에 나오는 삼각함수에 대한 내용을 이해한 뒤에 다시 돌아와 한번 더 학습하시길 권해드립니다. 일단 누구나 알 수 있도록 쉬운 부분부터 설명해 나가도록 하겠습니다.\
\
내적의 결과값은 벡터가 아닌 스칼라값이 나온다는 사실은 다들 아시겠죠? 외적의 결과값은 또다른 벡터 하나가 생기는데 이 벡터는 두 벡터에 모두 수직인 벡터가 됩니다.**(한가지 주의해야 할 점은 벡터의 외적은 3차원 벡터에서만 적용 된다는 것입니다.)**\
\
내적을 설명할 때 법선벡터 라는 말을 잠깐 언급했는데 이 법선벡터를 구할 때 벡터의 외적을 사용하게 됩니다. 법선벡터란 어떤 평면에 수직인 벡터를 의미하므로 위에서 말씀드린 외적의 정의와 완벽히 일치하게 되는 것이죠.\
\
어떤 두 벡터의 외적을 구하는 수식은 다음과 같습니다.
```
a x b = [(ay·bz – az·by), (az·bx – ax·bz), (ax·by – ay·bx)]
```
\
우리는 프로그래밍 언어가 더 친숙하므로 코드를 통해 외적을 계산해 보겠습니다.
```csharp
Vector3 vector_cross(Vector3 a, Vector3 b)
{
return new Vector3(
a.y * b.z - a.z * b.y,
a.z * b.x - a.x * b.z,
a.x * b.y - a.y * b.x);
}
```
위 수식을 자세히 보면 새로운 벡터의 x성분은 두 벡터의 y, z값을 각각 교차해서 곱한 뒤 서로를 뺀 값이라는 것을 알 수 있습니다.\
새로운 벡터의 y, z성분도 동일한 규칙으로 계산을 한 것이죠. 수식이 중요한건 아니니 그냥 한번 읽고 넘어가시면 될 듯 합니다. 중요한건 저런 계산을 통해 나온 새로운 벡터는 두 벡터의 수직이 되는 벡터라는 것입니다. 그 벡터는 두 벡터를 통해 만들어진 평면에 수직인 벡터라고 할 수 있으며 그것을 평면의 법선벡터 또는 노말벡터 라고 부르죠.\
보통 3D 제작툴에서 모델을 익스포트할 때 법선벡터도 같이 뽑아져 나오기 때문에 프로그램에서 직접 계산해줄 일은 많지 않을겁니다. 하지만 어떤 원리를 통해서 법선벡터가 생기는지 알고 있다면 활용범위가 더 넓어질 수 있겠죠.\
### **평행사변형의 넓이**
벡터의 외적을 게임 프로그래밍에서가 아닌 수학적으로 설명한 책이나 자료를 보면 아래와 같은 공식을 발견할 수 있습니다.
```
a x b = |a|∙|b|∙sinθ∙n
```
저 공식을 풀어서 설명해 드리자면, 두 벡터 **a**와 **b**의 외적은 두 벡터가 이루는 각도의 **사인(sin)**값에 두 벡터의 **길이**를 곱해서 두 벡터의 수직인 단위벡터 **n**을 곱한 값이라는 뜻입니다.(**|a|** 이 기호는 벡터 **a**의 길이를 나타내는 표시입니다.)\
쉽게 이해할 수 있도록 그림을 통해서 보겠습니다.
두 벡터 **a**와 **b**가 있습니다.
두 벡터 **a**와 **b**가 이루는 각도를 θ(세타)라고 했을 때그림에서 보이는 빨간색 선(**b**에 수직인 선)의 길이는 sinθ에 **a**의 길이를 곱한 값이 됩니다.
**a**와 **b**에 모두 수직이면서 길이가 1인 벡터 **n**이 있다고 할 때(벡터 **n**은 화면 위쪽이 아닌 모니터의 앞쪽으로 나온다고 생각하면 됩니다. 그래야 **a**, **b**에 모두 수직인 벡터가 되니까요)\
sinθ에 **a**의 길이와 **b**의 길이를 곱한 값을 **n**에 곱해주면 최종적으로 벡터 **n**을 길게 늘려준 꼴이 됩니다.\
왜냐하면 sinθ에 **a**의 길이, **b**의 길이를 곱하면 하나의 스칼라값이 나오는데여기에 벡터 **n**을 곱하면 벡터와 스칼라를 곱하는 것이기 때문에 결국벡터 **n**이 확장된 모습이 되기 때문이죠.
결국 **a**와 **b**의 외적은 **|a|∙|b|**∙sinθ∙**n** 으로도 구할 수 있습니다.\
하지만 이 방법은 두 벡터 사이의 각도와 수직인 벡터 **n**을 알아야 하며 삼각함수까지 들어가 있기 때문에 계산 과정이 복잡해집니다.\
따라서 실무에서는 벡터의 외적을 구할 때 이 방법 보다는 첫 번째로 설명 드린 방법(벡터의 각 성분들을 곱해서 빼는 방법)을 사용하게 되죠.\
\
이러한 계산 방법을 통해서 한 가지 재미있는 사실을 알아낼 수 있는데요, 벡터의 외적을 이용하면 **두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이**를 구할 수 있다는 것입니다.벡터 **a**와 **b**가 만드는 평행사변형은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
평행사변형의 넓이를 구하는 공식을 다시 떠올려 봅시다.
```
평행사변형의 넓이 = 밑변 x 높이
```
위 그림에서 밑변은 **b**의 길이, 높이는 **a**에서 **b**로 수직으로 내려오는 선이라고 할 수 있죠.
높이를 구하려면 벡터 **a**와 **b**가 이루는 각도를 삼각함수 사인(sin)으로 계산한 값에 **a**의 길이를 곱한 것과 같습니다.(이 부분은 삼각함수 부분을 알아야 이해할 수 있습니다.)\
결국 높이 = **|a|**∙sinθ 가 되며, 밑변 = **b**의 길이 이므로밑변(**|b|**) ˟ 높이(**|a|**∙sinθ)를 통해서 두 벡터 **a**와 **b**가 만드는 평행사변형의 넓이를 구할 수 있는 것입니다.\
이 공식은 벡터의 외적을 구하는 공식 **|a|∙|b|**∙sinθ∙**n**에서 벡터 **n**만 제외한 것과 같죠.결국 **외적으로 구해진 벡터의 길이는 평행사변형의 넓이와 같다**는 것을 알 수 있습니다.\
또한 평행사변형을 둘로 나누면 삼각형 두 개가 생기기 때문에 외적을 통해 생긴 벡터의 길이를 2로 나누면 두 벡터가 만드는 삼각형의 넓이와 같게 됩니다.
두 벡터 **a**와 **b**가 만드는 삼각형의 넓이는 평행사변형의 넓이의 절반과 같다.
{% hint style="info" %}
외적을 끝으로 벡터에 대한 기초를 학습해 봤습니다. 벡터를 처음 접했을 때 막연했던 느낌이 많이 사라지셨는지요? 다음 챕터는 벡터에 이어 자주 사용되는 삼각함수에 대한 부분입니다. 이 부분도 모르면 어렵고 알면 쉽습니다.\
\
참고로 이번에 배운 벡터의 개념은 3D 게임 프로그래밍에서도 똑같이 적용 됩니다.만약 유니티 엔진을 사용할 줄 안다면 게임 오브젝트의 transform.position값을 벡터로 생각하고 지금까지 배웠던 내용들을 코딩하여 구현해 보세요. 수학적으로 계산하던 결과를 직접 컴퓨터를 통해서 확인할 수 있기 때문에 이해가 더욱 잘될 것이라 생각합니다.
{% endhint %}